روش حداقل مربعات تعمیم یافته و مدل اثرات تصادفی

دانلود پایان نامه

یک روش متداول در فرموله کردن مدل ترکیب سری زمانی و مقطعی، بر این فرض استوار است که تفاوتهای بین واحدها را میتوان به صورت تفاوت در عرض از مبدأ نشان داد. بنابراین، هر یک پارامتر ناشناخته است که باید برآورد شود.
در این حالت، یک همبستگی بین جملهی ثابت و متغیر توضیحی وجود دارد، یعنی است.
با فرض اینکه و ، شامل T مشاهده برای واحد iام باشد و بردار جزء اخلال، باشد، میتوان رابطهی فوق را به صورت زیر نوشت:
به عبارت دیگر:
مدل فوق را میتوان به شکل خلاصه شدهی زیر نوشت:
که ، متغیر مجازی برای نشان دادن امین مقطع است. حال اگر به صورت تعریف شود:
که این رابطه، به عنوان مدل حداقل مربعات متغیر مجازی (LSDV) نامیده میشود.
مدل اخیر یک مدل رگرسیونی کلاسیک است و هیچ شرط جدیدی برای تجزیه و تحلیل آن لازم نیست. میتوان مدل را با استفاده از روش OLS با K برآوردگر در X و n ستون در D، به عنوان یک مدل چند متغیره با n+k پارامتر، برآورد کرد.
لازم به ذکر است، میتوان در روش اثرات ثابت، عرض از مبدأ را طوری برآورد کرد که نه تنها در مقطعهای مختلف، بلکه در زمانهای مختلف نیز متفاوت باشند.
روش اثرات ثابت در مقایسه با روش OLS
سؤالی که اغلب در مطالعات کاربردی مطرح میشود، این است که آیا شواهدی دال بر برابری عرض از مبدأها وجود دارد، یا اینکه عرض از مبدأها برای واحدهای (مقطع) مختلف متفاوت هستند.
برای تشخیص این پدیده، از آزمون زیر استفاده میشود:
که در آن، ، مجذور پسماندهای حاصل از برازش رگرسیون با برابری عرض از مبدأها (مدل مقید) و مجذور پسماندهای حاصل از برازش رگرسیون با عرض از مبدأهای مختلف (مدل نامقید) است.
فرضیهی صفر برای این آزمون، برابری عرض از مبدأها برای واحدهای مختلف است. در صورتی که، فرضیه ی پذیرفته نشود، دلیلی برای یکسان فرض نمودن عرض از مبدأ واحدهای مختلف وجود ندارد، درنتیجه روش اثرات ثابت انتخاب میشود.
اثرات تصادفی
مدلها ی اثرات ثابت، تنها در صورتی منطقی خواهند بود، که بتوان اختلاف بین مقطعها را به صورت انتقال تابع رگرسیون نشان داد. از آنجا که چنین اطمینانی همواره وجود ندارد، بنابراین روشهای دیگری مورد استفاده قرار میگیرند.
روش دیگر برآورد، روش اثرات تصادفی است که فرض میکند جزء ثابت مشخصکنندهی واحدهای مختلف، به صورت تصادفی بین واحدها و مقطعها، توزیع شده است. در این روش، است، که ، یک عدد ثابت برای همه ی واحدها میباشد، در حالی که ، به صورت تصادفی تغییر میکند.
مدل با اثرات تصادفی به صورت زیر خواهد بود:
که دارای K برآوردگر به اضافه ی یک عرض از مبدأ است. در این جا بین اثر ثابت و متغیر توضیحی هیچ گونه همبستگی وجود ندارد. یعنی است.
باید توجه داشت که در این حالت واریانسهای مربوط به واحدهای مختلف، یکسان نبوده و مدل دچار واریانس ناهمسانی است. بنابراین، باید به جای روش OLS از روش حداقل مربعات تعمیم یافته (GLS) استفاده شود (گرین، 2000).
سؤالی که در اینجا مطرح میشود، این است که آیا تفاوت در واحدهای مختلف میتواند به وسیله ی عرض از مبدأ خاص در واحد پاسخ گو باشد؟ به عبارت دیگر، آیا تفاوت در عرض از مبدأ واحدهای مقطعی به طور ثابت عمل میکند یا اینکه عملکردهای تصادفی، میتواند این اختلاف بین واحدها را به صورت واضح تری بیان نماید؟ برای تصمیم گیری در مورد این که کدام یک از روش های اثرات ثابت و اثرات تصادفی باید مورد استفاده قرار داد، از آزمون هاسمن کمک گرفته میشود.
آزمون هاسمن (انتخاب بین روش اثرات ثابت و اثرات تصادفی)
به منظور انتخاب بین روش اثرات ثابت و روش اثرات تصادفی، از آزمون هاسمن استفاده میشود (وولدریج، 2002). به این منظور، الگو به دو صورت اثر ثابت و تصادفی برآورد میشود و سپس ضرایب به دست آمده، مقایسه میگردند.
آمارهی این آزمون، به صورت زیر محاسبه میشود که دارای توزیع کای – دو () با درجه آزادی برابر با تعداد متغیرهای مستقل (K)، است.
در این جا ماتریس واریانس – کوواریانس برای ضرایب مدل اثرات ثابت، و ماتریس واریانس – کوواریانس برای ضرایب مدل اثرات تصادفیاست.
در حقیقت هاسمن، آزمون فرضیهی نا همبسته بودن اثرات انفرادی و متغیرهای توضیحی است، که طبق فرضیهی، برآوردهای حداقل مربعات تعمیم یافته (GLS) سازگار و تحت فرضیهی ، ناسازگار است. به عبارت دیگر، تحت روش اثرات تصادفی که در آن برآوردگرهای حداقل مربعات تعمیم یافته استفاده میشود، فرضیهی ، سازگاری ضرایب را نشان میدهد، در حالی که فرضیهی ، مبتنی بر رد این سازگاری است.