مقاله با موضوع برنامه ریزی ریاضی و برنامه ریزی پویا

دانلود پایان نامه

بزرگ ترین عیب سیستم های تصفیه فاضلاب، بعد از تولید بو، تولید لجن مازاد زیاذ می باشد. تولید ازیاد لجن مازاد، چالش های زیست محیطی فراوانی را در زمینه تصفیه فاضلاب، به ویژه سیستم لجن فعال به وجود آورده است. قوانین زیست محیطی به شدت با تولید لجن مازاد زیاد، مخالف است. دفع این لجن، مستلزم صرف هزینه زیاد خواهد بود. در بعضی از سیستم ها، حوضچه های هضم لجن را به این منظور در پایان سیستم تصفیه، تعبیه می کنند. این امر مستلزم صرف هزینه، زمان، انرژی و نیروی انسانی است، که در پایان مشکلاتی نظیر حجم زیاد، حمل و نقل، عوامل بیماری زا و مکان دفع کماکان پابرجاست. از این رو، کم کردن لجن تولیدی از مواردی است که باید به آن توجه شود. رفع این مشکل مستلزم انجام مطالعات کاربردی می باشد. مدل معرفی شده در این مطالعه، به بهینه سازی پارامترهای تصفیه فاضلاب با فرایند لجن فعال، خواهد پرداخت. همچنین در این مطالعه، به بهینه سازی سیستم تصفیه لجن فعال با استفاده از مدل زیست محیطی (EBM)که بر پایه معادلات مونود و تئوری تعادل توده ها استوار می باشد، پرداخته شده است.
3-11- مروری بر تحقیقات گذشته


حذف مواد آلی توسط باکتری ها، در اثر عمل اکسیداسیون بیولوژیکی و تولید لجن، از مراحل مهم تصفیه بیولوژیکی می باشد. تولید روزانه لجن مازاد حاصل از فرآیند لجن فعال متعارف، حدود L/kg.BOD5 100-15 است، که حاوی بیش از۹۵٪ آب است(Metcalf & Eddy,1991).. بدیهی است که هدف کلی فرایند لجن فعال، حذف آلاینده های آلی بصورت تولید لجن مازاد است. در سال 19۸۴، لجن مازادی که در کشورهای اروپایی تصفیه شد، به 5.56 میلیون تن مواد خشک رسید,1985) .(Peavy, H.S; Rowe, D.R بنابراین، جهت کاهش لجن، از روش های مختلفی استفاده شده است. از آن جمله، استفاده از ازن به میزان mg/g.MLSS10، در تانک هوادهی است، که اصول کار این فرآیند ترکیبی لجن فعال- ازن زنی توسط Hirolsnji و Kamiya در سال ۱۹۹۸ می باشد، که بخشی از لجن فعال در تانک هوادهی با ازن زنی اکسیده می شود. روش دیگر کنترل زمان ماند لجن و تجزیه بیولوژیکی لجن است. این روش توسط Mccarty,1960) ( Lawrence and، انجام شده است. روش دیگر استفاده از اکسیژن خالص جهت حذف لجن مازاد و بکار رفته است and Burgess,1974) .(Boom تولید لجن را در سیستم های لجن فعال، با افزایش اکسیژن خالص، به میزان ۴۵ ٪ کاهش دادند.همین عمل توسط ) et all, 1999 and (Abbassi، انجام شده است، که در این روش مواد بیولوژیکی هیدرولیز شده موجود در بافت فلوک، قابلیت تجزیه هوازی پیدا نموده و در نتیجه مقدار لجن کاهش یافته است.(Abbassi and et all, 1999) وست گارت و همکارانش (1964)، برای اولین بار گزارش کردند، که افزودن مرحله بی هوازی در فرایند لجن فعال با بار زیاد در مقایسه با روش متعارف بدون راکتور بی هوازی، میزان لجن تولیدی را به نصف کاهش می دهد. تحقیقات، کامیا و هیروتسوجی(1998) ،نشان داده است، که با استفاده از ازن به میزان 10 میلی گرم به ازای هر گرم MLSS در حوضچه هوادهی در هر روز، تولید لجن مازاد را به میزان 50 درصد کاهش می دهد. در صورتی که این میزان به بیش از 20 میلی گرم به ازای هر گرم MLSS برسد، لجن مازاد تولید نخواهد شد. نتایج گزارش شده توسط، واندرلیچ و همکاران (1985) ، به طور واضح نشان می دهد، که در سیستم لجن فعال، اکسیژن خالص، چنانچه زمان ماند سلولی از 3.7 به 8.7 روز افزایش یابد، تولید لجن، به ازای حذف هر میلی گرم COD از 0.38 به 0.28 میلی گرم جامدات معلق فرار، کاهش می یابد. تاکنون مکانیسم کاهش لجن تولیدی با استفاده از راهکار افزایش اکسیژن محلول کاملا روشن نشده است.
به منظور شرح ارتباط اکسیژن محلول با کاهش محصول دهی، مک ویرتر(1978)، مشخص کرد، که غلظت بالای اکسیژن محلول باعث تولید مقدار بیشتری مواد بیولوژیکی فعال و در نتیجه میزان تولید کمتر لجن، خواهد شد.
فصل چهارم:
بهینه سازی

4-1- مقدمه
علم تحقیق در عملیات، توانایی رابطه سازی مدیریتی و بدست آوردن بهترین تصمیم عملی را با توجه به شرطها و محدودیت های موجود دارد. ملاک تصمیم گیری به همراه محدودیت های موجود، یک طرح را به وجود می آورد. پس از شناخت نیازها، محدودیتها و ملاکهای مورد قضاوت، الگوی ریاضی حل خواهد شد. خاطر نشان می کند، یک طرح، به طور معمول، چندین پاسخ عملی دارد. از میان پاسخ های مزبور، بهترین آنها انتخاب می گردد، که به آن پاسخ بهینه گویند. شایان توجه است، راهکار بدست آوردن بهترین پاسخ را بهینه سازی می نامند یا به عبارتی دیگر، دستیابی به بهترین نتیجه در شرایط داده شده را، بهینه سازی گویند. پس از یافتن پاسخ بهینه، اعتبار و حساسیت الگوی ریاضی تعیین و نتیجه های آن تفسیر می گردند تا پاسخ بهینه، خواسته های مورد نظر را به طور کامل برآورده سازد. به دنبال آن، تصمیم بهینه به اجرا در می آید. به خاطر باید سپرد، بررسی اجرا برای اطمینان از درستی تصمیم الزامی خواهد بود. در طراحی، ساخت و نگهداری هر سیستم مهندسی، مهندسان باید تصمیمات تکنولوژیکی و مدیریتی بسیاری را در چند مرحله بگیرند. هدف نهایی چنین تصمیماتی، کمینه کردن تلاش لازم و یا بیشینه کردن سود مورد نظر است. تلاش لازم با سود مورد نظر در هر وضعیت عملی را می توان به صورت تابعی از متغیر های تصمیم مشخص بیان کرد. بنابراین می توان بهینه سازی را به عنوان فرایند یافتن شرایطی که مقدار کمینه یا بیشینه یک تابع را به دست می دهد، تعریف کرد. برای حل کارای همه مسائل بهینه سازی روش یگانه ای وجود ندارد. به همین دلیل برای حل گونه های مختلف مسائل بهینه سازی، روش های بهینه سازی مختلفی، بسط یافته اند(رضایی پژند و سرافرازی،1384).
4-2- رابطه سازی طرح بهینه
الگو سازی ریاضی یک طرح، قسمت اصلی در روند بهینه سازی است. زیرا، یک رابطه سازی خوب سبب به دست آوردن یک حل بهینه مناسب خواهد شد. برای گرفتن یک تصمیم بهینه، داشتن ملاک مناسب تصمیم گیری بسیار با اهمیت می باشد. ملاک تصمیم گیری در یک طرح، باید به صورت یک تابع ریاضی الگوسازی شود. ملاک مزبور را ” تابع هدف” می نامند. در واقع تابع هدف میزانی است، که یک طرح بهینه را محک می زند. امکان دارد، در یک مسئله کمینه یا بیشینه تابع هدف مورد نظر باشد. به عنوان نمونه، وزن مصالح، هزینه یا زمان انجام کار کمینه می گردد. عاملهای مختلفی در تابع هدف یک طرح موثرند و مقدار آن را تغییر می دهند. چنین عاملهایی به صورت متغیر، در الگوی ریاضی، وارد می گردند و “متغیرهای طراحی” نام دارند. در واقع تابع هدف بر حسب متغیرهای مزبور نوشته می شود. به ازای هر مقدار متغیر طراحی یک طرح بدست می آید. برای بیشتر طرحها، امکان رابطه سازی با چند مجموعه متغیر وجود دارد. با وجود این، باید کوشش کرد همه متغیرهای طراحی شناخته شوند و وارد مساله گردند. در غیر این صورت، رابطه سازی خطادار خواهد بود و ممکن است تصمیم بهینه الگوی ریاضی با واقعیت سازگاری نداشته باشد. از سوی دیگر، باید تلاش نمود متغیرهای طراحی مستقل از یکدیگر انتخاب شوند. زیرا، متغیرهای طراحی وابسته، مساله را پیچیده می نمایند. کاهش تعداد متغیرها سبب ساده شدن مساله خواهد شد. متغیرهای طراحی و تابع هدف، جزء جداناپذیر هر مساله بهینه سازی هستند. برای اینکه یک طرح عملی یا کارا یا پذیرفتنی باشد، باید همه محدودیتها را شناسایی کرد و آنها را رابطه سازی ریاضی نمود. چنانچه طرحی دست کم یکی از محدودیتها را برقرار نسازد، ناپذیرفتنی، ناکارا یا غیرعملی خوهد بود. به خاطر باید سپرد، هر طرح پذیرفتنی را می توان به کار برد ولی ممکن است بهترین طرح نباشد. در الگوی ریاضی مساله بهینه سازی، محدودیتها را به صورت رابطه های برابری یا نابرابری و بر حسب متغیرهای طراحی می نویسند. محدودیتهای نابرابری به شکل رابطه های کوچکتر یا مساوی و نیز بزرگتر یا مساوی در مسئله وارد می شوند. پاره ای از مسئله های بهینه سازی محدودیتی ندارند. هر محدودیت نابرابری در فضای چند بعدی یک نیم فضا را مشخص می نماید. چنانچه، چند محدودیت نابرابری وجود داشته باشد، پاسخ بهینه در ناحیه مشترک نیم فضاهای محدودیت ها قرار خواهد داشت. منطقه مشترک این نیم فضاها را “ناحیه پذیرفتنی” می نامند. هر نقطه داخل این ناحیه، نشانگر یک “طرح پذیرفتنی” خواهد بود. از سوی دیگر، محدودیتهای برابری مرزهایی را مشخص می نمایند. آشکار است، پاسخ بهینه باید در فصل مشترک این مرزها قرار گیرد. افزایش شمار محدودیتها، سبب کوچک شدن ناحیه پذیرفتنی می گردد. این افزایش، به طور معمول، تعداد پاسخ های پذیرفتنی را کاهش می دهد. هنگام رابطه سازی باید همه محدودیتها را شناخت و آنها را بر حسب متغیرهای طراحی نوشت. چنانچه محدودیت کارسازی در نظر گرفته نشود، طرح بدست آمده سودمند نخواهد بود. در مساله های بهینه سازی، ممکن است همه رابطه ها اعم از تابع هدف و محدودیتها بر حسب توان یکم متغیرها ارائه گردند. چنین مساله ای را “برنامه ریزی خطی” نامند. در برنامه ریزی خطی، تابع هدف و محدودیت های مساله تابع های خطی از متغیرهای طراحی هستند. چنانچه دست کم یک متغیر با توان بیشتر از یک یا به صورت تابع غیر خطی مانند توابع مثلثاتی یا نمایی در تابع هدف یا محدودیتهای مساله وارد شوند، یک مساله بهینه سازی غیرخطی به وجود خواهد آمد. افزون بر این، در پاره ای مساله ها، متغیرها وابسته به زمان هستند. چنین حالتی را برنامه ریزی پویا می نامند. به طور معمول، متغیرها مستقل از زمانند و یک مساله ایستا را تشکیل می دهند. همچنین، متغیرهای طراحی در تابع هدف و محدودیتها می توانند، به صورت قطعی یا احتمالی در نظر گرفته شوند. شایان توجه است، واقعیت بیشتر مساله ها به صورت احتمالی است. زیرا، برنامه ریزی برای آینده انجام می گیرد و همه قسمتهای مساله، به طور دقیق مشخص نیست. با وجود این، تا حد ممکن کوشش میگردد، مساله های بهینه سازی به صورت قطعی الگو سازی شوند(رضایی پژند و سرافرازی،1384).
4-3- تاریخچه بهینه سازی
تاریخچه روشهای بهینه سازی را می توان در روزگار نیوتن، لانگراژ و کوشی ردیابی کرد. بسط روشهای بهینه سازی حساب دیفرانسیل با کار های نیوتن و لایبنیتز ممکن گشت. حساب تغییرات توسط برنولی، اولر، لانگراژ و ویرشتراس بنیان گذاری شد. یک روش بهینه سازی برای مسائل مقید که شامل افزودن مضارب مجهول می باشد به نام یابنده آن، لانگراژ نام گذاری شده است. کوشی برای اولین بار روش تندترین کاهش را در حل مسائل کمینه سازی نامقید به کار گرفت. با وجود سهم این افراد، تا قرن بیستم پیشرفت بسیار اندکی حاصل شد. در این قرن کامپیوترهای سریع، به کارگیری روشهای بهینه سازی را ممکن ساخت و تحقیقات بیشتر برای روشهای جدید را برانگیخت. پیشرفتهای بعدی به روشهای بهینه سازی ابعاد گستردهای داد. این پیشرفتها به چند زمینه جدید در تئوری بهینه سازی انجامید.قابل توجه است که توسعه اصلی در زمینه روشهای عددی بهینه سازی نامقید تنها در دهه 1960 در انگلستان صورت گرفت. بسط روش سیمپلکس در 1947 توسط دنتزیک برای مسائل برنامه ریزی خطی و ارائه اصل بهینگی در 1957 توسط بلمن برای مسائل برنامه ریزی پویا، راه را برای توسعه روشهای بهینه سازی مقید گشود.کارهای کان و تاکر در 1951 برای شرایط لازم و کافی جواب بهینه مسائل برنامه ریزی ریاضی، زیربنای تحقیقات بعدی در برنامه ریزی غیرخطی شد. سهم زوتندیک و روزن در اوایل دهه 60 در برنامه ریزی غیرخطی بسیار با اهمیت بوده است، گرچه روش یگانه ای که به طور کلی برای حل همه مسائل برنامه ریزی غیرخطی قابل اعمال باشد یافت نشد. کارهای کارول و فیاکو و مک کورمیک یک مسئله مشکل را که می بایست با استفاده از روشهای شناخته شده بهینه سازی مقید حل شود بسیار آسان کرد. برنامه ریزی هندسی در دهه 1960 توسط دوفین، زنر و پیترسون بسط یافت. گاموری در زمینه برنامه ریزی با اعداد صحیح پیشگام شد که یکی از مهمترین و رو به گسترش ترین زمینه های بهینه سازی است، زیرا بیشتر کاربردهای دنیای واقعی در این طبقه از مسائل قرار می گیرد. دنتزیک، چارنز و کوپر روشهای برنامه ریزی تصادفی را توسعه دادند و مسائلی را با فرض اینکه پارامترها مستقل و دارای توزیع نرمال هستند حل کردند(شهیدی پور،1375).
4-4- تابع هدف
روشهای طراحی معمول، ما را در یافتن یک طرح قابل قبول یا کافی یاری می دهند. این نوع طراحی تنها نیازمندیهای عملی و دیگر نیازمندیهای مسئله را برآورده می سازد، لیکن عموما تنها قابل قبول بودن یک طرح، مورد نظر نیست و هدف از بهینه سازی، انتخاب بهترین طرح از بین طرحهای موجود می باشد. بنابراین باید معیاری برای مقایسه طرحهای قابل قبول مختلف و انتخاب بهترین آنها تعیین شود. چنین معیاری که طرح، نسبت به آن بهینه می شود را به صورت تابعی از متغیرهای طراحی بیان می کنند و آن را تابع معیار، یا تابع مزیت و یا تابع هدف می نامند.انتخاب تابع هدف به طبیعت مسئله بستگی دارد. هر چند انتخاب تابع هدف در بیشتر مسائل آسان به نظر می رسد، با این وجود ممکن است، در حالاتی، بهینه سازی نسبت به یک معیار مشخص، به نتایجی بینجامد که نسبت به معیاری دیگر رضایت بخش نباشد(شهیدی پور،1375).
4-5- روش بهینه سازی هوک جیوز
در این پایان نامه بهینه سازی یکی از مدل های معرفی شده، جهت بهینه سازی تصفیه خانه لجن فعال، توسط روش هوک- جیوز) (Hooke-Jeeves انجام شده است.
4-5-1- الگوریتم هوک جیوز
این روش، یک روش جستجوی مستقیم است، که از درون یابی استفاده می کند. تعیین یک مسیر و اندازه حرکت مناسب ، باعث تسریع در رسیدن به یک سیستم بهینه می شود. این روش در ابتدا با انتخاب یک بردار اولیه مانند و یک اندازه حرکت انتخاب می شود.
گام (1): درون یابی اطراف نقطه به طور متوالی با انجام می شود. اگر این تغییرات باعث بهبود تابع هدف (به عنوان مثال افزایش در مقدار تابع) شود این مقدار، به عنوان مقدار اولیه تابع به حساب خواهد آمد. همین درون یابی را برای متغیر های دوم و سوم انجام می دهیم تا به جواب صحیح برسیم. در غیر این صورت مقدار اولیه تابع به عنوان جواب صحیح نگه داشته می شود. و در نهایت بردار نتیجه با علامت نشان داده می شود. اگر به گام (2) وگرنه به گام (3) می رویم.
گام (2): ماکزیمم تابع با تلورانس می باشد وگرنه کاهش داده می شود و گام (1) تکرار می شود یا روش با جواب نهایی معادله خاتمه داده می شود.
گام (3): جهت حرکت با محاسبه بردار به صورت ادامه می یابد.
گام (4): درون بابی اطراف نقطه مشابه آنچه در گام (1) توضیح داده شد، انجام می شود. بردار نتیجه بردار نامیده می شود. اگر باشد به گام (5) و گرنه به گام (6) می رویم.
گام (5): قرار داده می شود، به گام (1) بر میگردیم.
گام (6): و به گام (3) بر می گردیم.
در روش بهینه سازی هوک جیوز( (Hooke-Jeeves اگر بعد از انجام تمامی مراحل درون یابی و اندازه حرکت جواب صحیحی برای معادله بدست نیامد بایستی تمامی نقاط اطراف که حتی ممکن است با درون یابی اولیه در اطراف این نقطه پیدا نشوند، را جستجو کرده و امتحان می نماییم ت نقطه مورد نظر پیدا شود. اگر تابع هدف متغیره باشد به تعداد تغییر در اطراف وجود دارد که همگی باید چک شوند، وگرنه کاهش داده می شود و گام (1) تکرار می شود. یا همان جواب مورد نظر تابع خواهد بود(Richard,1983).