پایان نامه درباره استاندارد و جهت گیری

دانلود پایان نامه

در مسائل روباتیک، می بایست بردارهای سرعت، شتاب و … در دستگاه های مختصات مختلف محاسبه و بررسی گردند. در بخش های پیشین، مفهوم مکان، جهت گیری و چارچوب بررسی شدند و اکنون برخی مفاهیم و ملزومات نگاشت برای انتقال بردارها از یک چارچوب به چارچوب دیگر مورد بررسی قرار می گیرند. در فرآیند تغییر توصیف از یک چارچوب به چارچوب دیگر ماهیت بردار تغییر نمی کند، بلکه بیان آن متفاوت می گردد.
شکل ٢-٣- بیان یک بردار در دو دستگاه
جهت این امر، ابتدا را نسبت به چارچوب سومی که جهت گیری آن منطبق بر جهتگیری و مبدأ آن منطبق بر مبدأ است، با یک تبدیل دوران بیان می کنیم. سپس، انتقال بین دو مبدأ مختصات با جمع برداری دو بردار زیر به دست می آید (شکل ٢-٣).
(٢-١٢)
رابطه (٢-١٢)، نگاشت بین مکان یک نقطه در چارچوب و بین همان نقطه در چارچوب را نشان می دهد. رابطه (٢-١٢) به صورت فشرده زیر نیز قابل بیان است.
(٢-١٣)
با این تعریف، نگاشت از یک چارچوب به چارچوب دیگر، تبدیلی از یک چارچوب به چارچوب دیگر است که به صورت عملگر ماتریسی بیان می شود. برای نوشتن رابطه (٢-١٢) به شکل عملگرماتریسی معرفی شده در رابطه (٢-١٣)، نیاز به تعریف عملگر ماتریسی ۴×۴ و همچنین افزایش بردار مکان به یک بردار ١×۴ می باشد. بدین ترتیب، رابطه (٢-١٣) به صورت زیر نوشته می شود.
(٢-١۴)
در این رابطه
عدد ١ به عنوان مؤلفه اضافی چهارم به بردار مکان اضافه شده است.
سطر به عنوان آخرین سطر ماتریس اضافه شده است.
رابطه (٢-١۴) بیانگر دو رابطه زیر می باشد که رابطه ١= ١ در آن یک رابطه بدیهی است.
(٢-١۵)
١= ١
ماتریس ۴×۴ در رابطه (٢-١۴) تبدیل همگن خوانده می شود که شامل دو عمل دوران و انتقال از دستگاهی به دستگاه دیگر است.
٢-٣- تبدیل های دوران
٢-٣-١- زوایای
قبلاً گفته شد که ماتریس نه عنصری دوران تنها تابع سه پارامتر زاویه ای مستقل است. روش های استاندارد متنوعی برای بیان این ماتریس بر حسب سه زاویه دوران مستقل از هم وجود دارد. یکی از این روش های توصیف جهت گیری چارچوب نسبت به چارچوب استفاده از چارچوبی است که ابتدا بر چارچوب معلوم منطبق است و سپس با سه دوران پیاپی دور محورهای چارچوب بر چارچوب منطبق می گردد (شکل ٢-۴).
شکل ٢-۴- زوایای ثابت
در این روش ابتدا چارچوب حول محور به اندازه ، موسوم به زاویه ، سپس حول محور به اندازه موسوم به زاویه ، و سرانجام حول محور به اندازه ، موسوم به زاویه دوران داده می شود. هر یک از این سه دوران، حول محوری از چارچوب ثابت صورت می گیرد. این نوع بیان جهت گیری، بیان زوایایکه مخفف است و یا بیان ثابت نامیده می شود. کلمه ثابت به ثابت بودن چارچوبی که دوران ها دور محورهای آن انجام می گیرند، اشاره می کند.
به دست آوردن ماتریس دوران معادلبا توجه به دوران دور محورهای چارچوب مرجع انجام می گیرد.
(٢-١۶)
که در آن ماتریس های دوران از روابط زیر محاسبه می شوند.
در این ماتریس های دوران مخفف ، و مخفف می باشند. حاصلضرب ماتریس های دوران فوق، ماتریس دوران زیر می باشد که به تنهایی هر سه دوران فوق را بین دو دستگاه انجام می دهد.